CSCA 数学测试 - 2026年1月 — Папа в Китае

Вопрос 1

设集合 $A = \{6, 7, 8, 9, 10\}$，$\Phi$ 表示空集，下列哪一个说法是正确的？

$9 \in A$ $\Phi \in A$ $6 \subseteq A$ $\{6\} \in A$

Вопрос 2

设 $A = \{x \mid -2 \leq x \leq 2\}$，$B = \{x \mid x > 0\}$，则 $A \cup B =$

$\{x \mid 0 < x \leq 2\}$ $\{x \mid -2 \leq x < 0\}$ $\{x \mid x \geq -2\}$ $\{x \mid x \leq -2\}$

Вопрос 3

不等式 $x^2 - x - 2 > 0$ 的解集是

$\{x \mid x < -2 \text{ 或 } x > -1\}$ $\{x \mid x < -1 \text{ 或 } x > 2\}$ $\{x \mid -2 < x < 1\}$ $\{x \mid -1 < x < 2\}$

Вопрос 4

数列 $\{a_n\}$ 为等差数列，且首项 $a_1 = 2$，公差 $d = 3$，则 $a_{100} =$

302 305 298 299

Вопрос 5

函数 $f(x) = \dfrac{1}{x} + \sqrt{1 - x}$ 的定义域是

$(-\infty, 0) \cup (0, 1]$ $(-\infty, 1]$ $[1, +\infty)$ $(-\infty, 0) \cup (0, 1)$

Вопрос 6

设点 $P(1, 2)$ 在直角坐标系中，若点 $Q$ 与点 $P$ 关于 $x$ 轴对称，则点 $Q$ 的坐标是

$(-1, -2)$ $(-1, 2)$ $(2, 1)$ $(1, -2)$

Вопрос 7

已知角 $\alpha = 30^\circ$，下列说法中正确的是

$\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\cos \alpha = \dfrac{1}{2}$ $ an \alpha = \sqrt{3}$

Вопрос 8

关于函数 $f(x) = x^4 + 3$，下列说法中正确的是

函数是偶函数以上都不对函数既不是奇函数也不是偶函数函数是奇函数

Вопрос 9

函数 $y = x^3 + 3$, $x \in \mathbb{R}$ 的反函数是

$y = \sqrt[3]{x - 3}$, $x \geq 3$ $y = \sqrt[3]{x - 3}$, $x \in \mathbb{R}$ $y = \sqrt[3]{x + 3}$, $x \in \mathbb{R}$ $y = \sqrt[3]{x + 3}$, $x \geq -3$

Вопрос 10

下列哪一个点在第三象限？

$(1, 2)$ $(-1, 2)$ $(-1, -2)$ $(1, -2)$

Вопрос 11

已知 $y = |x|$，下列结论中正确的是

当 $x > 0$ 时，函数单调递增当 $x \in \mathbb{R}$ 时，函数单调递增当 $x \in \mathbb{R}$ 时，函数单调递减当 $x < 0$ 时，函数单调递增

Вопрос 12

有理不等式 $\dfrac{2x + 1}{x - 2} \leq 0$ 的解集是

$(-\infty, -\frac{1}{2}] \cup (2, +\infty)$ $[-\frac{1}{2}, 2]$ $[-\frac{1}{2}, 2)$ $(-\infty, -\frac{1}{2}]$

Вопрос 13

已知 $a = 2 - \sqrt{3}$，$b = 2 + \sqrt{3}$，则 $a$ 与 $b$ 的算术平均数为

$\pm 1$ $-1$ $1$ $2$

Вопрос 14

若直线 $l$ 经过点 $A(-2, 3)$ 和 $B(3, 1)$，则直线 $l$ 的斜率为

$-\dfrac{5}{2}$ $-\dfrac{2}{5}$ $\dfrac{2}{5}$ $\dfrac{5}{2}$

Вопрос 15

若 $\alpha$ 为 $x$ 轴与过点 $P(1, 3)$ 的直线所成的角，则 $\sin \alpha =$

$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ $3$ $\dfrac{\sqrt{10}}{10}$ $\dfrac{1}{3}$

Вопрос 16

在下面四个数列中，等差数列的个数是：(1) 7, 13, 19, 25; (2) 2, 4, 7, 11; (3) -1, -3, -5, -7; (4) 2, 4, 8, 16

2 3 1 4

Вопрос 17

平面上点 $A(3, -2)$ 到点 $B(-5, -1)$ 的距离 $|AB| =$

65 13 $\sqrt{65}$ $\sqrt{13}$

Вопрос 18

若直线 $l$ 的倾斜角为 $45^\circ$ 且经过点 $(0, 2)$，则直线 $l$ 的方程是

$y = 2x - 2$ $y = x + 2$ $y = x - 2$ $y = 2x + 2$

Вопрос 19

若圆的方程为 $x^2 + y^2 - 4x - 3 = 0$，则该圆的圆心与半径分别是

$(0, 2)$，$\sqrt{7}$ $(2, 0)$，$7$ $(0, 2)$，$7$ $(2, 0)$，$\sqrt{7}$

Вопрос 20

若 $\sin \alpha = \dfrac{4}{5}$，且角 $\alpha$ 位于第二象限，则下列说法中正确的是

$ an \alpha = -\dfrac{3}{4}$ $\cos \alpha = \dfrac{3}{5}$ $ an \alpha = \dfrac{4}{3}$ $\cos \alpha = -\dfrac{3}{5}$

Вопрос 21

等差数列 $\{a_n\}$ 中，若 $a_2 = 1$，$a_4 = 5$，则首项 $a_1$ 与公差 $d$ 分别为

$-1, -2$ $-1, 2$ $1, 2$ $1, -2$

Вопрос 22

设 $a, b, c$ 为三个实数，下列说法中正确的是

若 $a > b$，则 $ac > bc$ 若 $a > b$，则 $a + c > b + c$ 若 $ac > bc$，则 $a > b$ 若 $a > b$，则 $a^2 > b^2$

Вопрос 23

关于指数函数 $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$)，下列说法中错误的是

定义域是 $\mathbb{R}$ 值域是 $(0, +\infty)$ 图像经过点 $(0, 1)$ 在其定义域上函数单调递增

Вопрос 24

若 $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$，且 $\alpha$ 位于第一象限，则 $\sin 2\alpha =$

$\dfrac{24}{25}$ $\dfrac{18}{25}$ $\dfrac{7}{25}$ $\dfrac{12}{25}$

Вопрос 25

直线 $l_1: 3x - y + 8 = 0$ 与 $l_2: x + 2y - 9 = 0$ 的交点坐标是

$(1, -5)$ $(5, -1)$ $(-5, 1)$ $(-1, 5)$

Вопрос 26

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{64} - \dfrac{y^2}{16} = 1$，下列说法中正确的是

实轴半长为 4 虚轴半长为 8 双曲线的离心率为 $\sqrt{5}$ 焦距为 $8\sqrt{5}$

Вопрос 27

下列不等式中正确的是

$2.1^{-2} > 1.2^{-2}$ $2.1^{\frac{2}{3}} > 1.2^{\frac{2}{3}}$ $3^{2.25} > 3^3$ $0.75^{-0.2} > 0.75^{-0.4}$

Вопрос 28

一圆的圆心为 $(-3, 2)$，半径为 4，则该圆的方程是

$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4$ $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$ $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 4$ $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16$

Вопрос 29

设 $a > 0, b > 0$ 为实数，则下列说法中错误的是

$\ln(a^b) = b \ln a$ $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ $\log_a b = \dfrac{\ln a}{\ln b}$（$a \neq 1, b \neq 1$） $\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$

Вопрос 30

关于正弦函数 $y = \sin x$，下列说法中错误的是

最大值为 1，最小值为 -1 定义域为 $\mathbb{R}$ 该函数是周期函数该函数是偶函数

Вопрос 31

抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点为 $F$。若点 $P$ 在该抛物线上，且 $P$ 的横坐标为 4，则 $|PF| =$

3 4 5 2

Вопрос 32

已知两条直线 $l_1: ax + (a - 1)y + 3 = 0$，$l_2: 2x + ay - 1 = 0$，若 $l_1 \perp l_2$，则 $a$ 的值为

1 -1 0 或 -1 -1 或 1

Вопрос 33

点 $P(-1, 2)$ 与点 $Q(3, 1)$ 之间的距离为

$\sqrt{5}$ $\sqrt{17}$ 5 $\sqrt{13}$

Вопрос 34

若 $\cos \alpha = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，且 $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$，则 $\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) =$

$\dfrac{2\sqrt{5} - \sqrt{15}}{10}$ $\dfrac{2\sqrt{5} + \sqrt{15}}{10}$ $\dfrac{2\sqrt{15} - \sqrt{5}}{10}$ $\dfrac{2\sqrt{15} + \sqrt{5}}{10}$

Вопрос 35

下列说法中正确的是

$y = x^2 - 1$ 与 $y = \dfrac{x^4 - 1}{x^2 + 1}$ 是同一个函数 $y = x$ 与 $y = \sqrt{x^2}$ 是同一个函数 $y = (\sqrt{x})^2$ 与 $y = \sqrt{x^2}$ 是同一个函数 $y = 1$ 与 $y = x^2$ 是同一个函数

Вопрос 36

若 $\sin \alpha = -\dfrac{12}{13}$，且 $\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$，则 $\cos \dfrac{\alpha}{2} =$

$-\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$ $\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$ $-\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$ $\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$

Вопрос 37

若 $\cos \alpha = -\dfrac{1}{2}$，且 $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$，则 $\sin \dfrac{\alpha}{2}$ 的值为

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{1}{2}$ $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $-\dfrac{1}{2}$

Вопрос 38

下列恒等式中正确的是

$\sin(\pi + \alpha) = \sin \alpha$ $\sin(-\alpha) = \sin \alpha$ $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ $\cos(\pi + \alpha) = \cos \alpha$

Вопрос 39

关于正切函数 $y = \tan x$，下列说法中正确的是

函数的最小正周期为 $\pi$ 定义域为 $\mathbb{R}$ 函数是偶函数值域为 $[-1, 1]$

Вопрос 40

数列 $-\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, -\dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{11}, \cdots$ 的通项公式为 $a_n =$

$\dfrac{(-1)^n}{3n + 2}$ $\dfrac{(-1)^{n-1}}{3n + 2}$ $\dfrac{(-1)^{n-1}}{2n + 3}$ $\dfrac{(-1)^n}{2n + 3}$

Вопрос 41

若函数 $f(x) = 2 + \log_a(x - 3)$ ($a > 0, a \neq 1$) 的图像经过一个固定点 $P$，则点 $P$ 的坐标为

$(4, 2)$ $(3, 0)$ $(3, 1)$ $(4, 0)$

Вопрос 42

抛物线 $y^2 = -x$ 的准线方程是

$x = \dfrac{1}{4}$ $x = \dfrac{1}{2}$ $x = -\dfrac{1}{4}$ $x = -\dfrac{1}{2}$

Вопрос 43

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{2} = 1$ 的焦点为 $F_1, F_2$，点 $P$ 在椭圆上，则 $|PF_1| + |PF_2| =$

6 8 2 4

Вопрос 44

已知 $\overrightarrow{AB} = \vec{a} + 5\vec{b}$，$\overrightarrow{BC} = -2\vec{a} + 8\vec{b}$，$\overrightarrow{CD} = 3\vec{a} - 3\vec{b}$，则

$A, C, D$ 三点共线 $A, B, C$ 三点共线 $B, C, D$ 三点共线 $A, B, D$ 三点共线

Вопрос 45

设直线 $l$ 垂直于直线 $l_1: x + 2y + 4 = 0$，且经过直线 $l_2: x + y + 1 = 0$ 与 $l_3: 2x + y - 1 = 0$ 的交点，则

$x - 2y - 1 = 0$ $x + 2y - 3 = 0$ $2x - y - 7 = 0$ $2x + y - 5 = 0$

Вопрос 46

在复平面上，表示复数 $z$ 的点在直线 $x - y = 0$ 上，若 $z$ 是二次方程 $x^2 + mx + 4 = 0$ 的一根，则 $m =$

$2\sqrt{2}$ 或 $-2\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ 或 $2\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ 或 $-2\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ 或 $-\sqrt{2}$

Вопрос 47

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，且 $\dfrac{1}{a_n} + \dfrac{2}{a_{n+1}} = 0$ ($n = 1, 2, \cdots$)，又设数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n = |a_n|$ ($n = 1, 2, \cdots$)，则数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n =$

$2^n - 1$ $\dfrac{1 + 2^n}{3}$ $(-2)^n - 1$ $\dfrac{|1 - (-2)^n|}{3}$

Вопрос 48

在日常生活中，人们常用跑步软件记录并分享自己的运动路线。为了了解某城市高中生与大学生使用跑步软件的情况，随机抽取了 200 名高中生和 80 名大学生，记录他们最喜欢的跑步软件如下表所示：A 应用 (高中生: 80, 大学生: 30)，B 应用 (高中生: 40, 大学生: 20)，C 应用 (高中生: 60, 大学生: 20)，D 应用 (高中生: 20, 大学生: 10)。假设高中生和大学生对跑步软件的偏好是相互独立的。若从每一组中各随机抽取一人，则他们最喜欢的跑步软件不同的概率是

$\dfrac{57}{80}$ $\dfrac{9}{20}$ $\dfrac{23}{80}$ $\dfrac{11}{20}$